浅野です。

Kさんは先週に予想したとおり、微分の一つの山場である増減表はもう大丈夫なようです。学校で小テストがあり、その答案を見せてくれたのですが、「最大値」と書くべきところを「極大値」と書いてしまって1点引きになっていたところ以外は満点でした。事前に自分で増減表を追究して自分の理解の度合いを明確にした後に質問をしてくれたのがやはりよかったと思います。

今回も自分がどこがわからないかをはっきりとさせてから質問をしてくれました。積分の計算がわからないとのことです。微分の逆だと説明するとすぐにわかってくれました。よい循環ができつつあるように感じます。

Cさんは数列の単元を終えようかというところまで進んでいます。等比数列の和の公式を使うことはできるけれども、たまによくわからなくなるという質問を受けました。そう感じる人は多いと思いますので、ここですっきりさせておきます。

教科書や参考書に載っている公式を覚えてもよいのですが、原理的に導くほうが応用することもできてよいと私は思います。例えば次のような問題を考えてみましょう。

初項が3、公比が2の等比数列の第n項までの和を求めよ。

求める和をSとおいて書き出してみると、

S=3+3・2+3・2^2+3・2^3+…+3・2^n-1

それを公比倍すると

2S=3・2+3・2^2+3・2^3+…+3・2^n-1+3・2^n

これらをうまく並べて引き算をすると

  S=3+3・2+3・2^2+3・2^3+…+3・2^n-1
-)2S= 3・2+3・2^2+3・2^3+…+3・2^n-1+3・2^n
 ————————————————————
 -S=3-3・2^n
  S=3・2^n-3

となります。

少し手間はかかりますが、このように並べて書くと一目瞭然で、n-1項までの和を求めよと言われたとしても迷いません。

Aさんは模試の復習に取り組みました。当日に解けなかったところをじっくりと見直していました。模試を有効活用してくれています。

解答を読めばわかるけれども自分で解法を思いつかないと話してくれました。そこでいくつかの問題についていっしょに解答の方針を考えました。

二次関数の範囲では与えられた関数がすべての象限を通過するように変数の値を定めよという問題がありました。この手の問題は図を描きながら丁寧に場合分けするのがポイントとなります。いくつか適当に関数のグラフを描いてみて、題意を満たすにはどのような条件を付ければよいかを考えます。その際にグラフが上に凸か下に凸か、頂点がどこにあるか、x=0のときのyの値が正か負かなどに着目します。

もう一つ苦労したのは整数問題です。変数が含まれる二次方程式が与えられて、それが自然数を2つ解に持つような変数を求めたりする問題です。多くの場合、こうした整数問題は一発で答えを求めることはできません。都合がよい形に因数分解して数え上げるのです。整数問題では一義的に解を定めようとせずに、うまく式変形して数え上げるのだという方針を伝えました。

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