福西です。
ブログには書いてませんが、前回、平面や球面（またそれらの穴あきの場合）の三角形分割を実験し、帰納的に「オイラーの多面体定理」を導きました。
オイラーの多面体定理は、（穴のあいていない）球面の場合では、
点の数－線の数＋面の数＝２
という関係を与えます。
今回はその結果を利用して、「５種類の正多角形（プラトン立体）」を作りました。
正多面体とは、正多角形で作れる立体のことです。
また正多角形とは、等しい長さの辺で作れる多角形のことです。
そして、そのような正多角形で作れる正多面体は、実は３次元では５種類しかないことが知られています。
（小学生クラスでは証明は省きましたが、オイラーの多面体定理と文字式を使えば簡単に証明できます）
また正多面体を構成できる正多角形は、１点の周りに貼り合せる多角形の角の合計が180度より大きくかつ360度未満でなければならない（180度以下では貼り合せができず、360度以上だと平面から立体に起き上がれない）という制約から、正３角形、正方形（正４角形）、正５角形の３種類しかありません。
すなわち、以下のような場合のみとなります：
１）正３角形で作る場合
１点のまわりに集まる正３角形（１つの角＝６０度）が
i）３つ
ii）４つ
iii）５つ、
（６つは３６０度なのでアウト）
２）正方形で作る場合
１点のまわりに集まる正方形（１つの角＝９０度）が
iv）３つ、
（４つは３６０度なのでアウト）
３）正５角形で作る場合
１点のまわりに集まる正５角形（１つの角＝１０８度）が
v）３つ。
そして、
i）→正４面体、ii）→正８面体、iii)→正２０面体、iv)→正６面体、v）→正１２面体
となります。
【補足】
授業ではサイコロの視察により、証明は省きましたが、たとえば上の３）のv)の場合だと、以下のようにします。（興味のある方は実際に計算して調べてみてください）
１）正５角形（面）の数＝n
２）正５角形n枚の点すべて＝5n
３）多面体を作った時の実際の点の数＝5n/3（１点のまわりに正５角形が３つ集まるので、１点を３重に数えていることになるので）
４）正５角形n枚の線すべて＝5n
５）多面体を作った時の実際の点の数＝5n/2（辺を２重に数えているので）
６）これらの結果をオイラーの多面体定理に代入すると、
5n/3－5n/2＋n=2。
これを解いて、
n=12。
他のi）～iv）についても、同様に計算すれば、n＝4、8、20、6が出てきます。
さて、今回は「ひねもす」を使って上の５種類の正多面体を実際に構成してみました。
「ひねもす」では、点にはジョイントを、線にはちいもすを使って表現しました。問題はそれらが「いくつずつ必要か？」ということですが、簡単な視察とオイラーの多面体定理による計算から導き出すことができます。（もちろん、上の例で挙げた計算式の中でも求められます）
点の数と線の数のどちらが数えるのが難しいかということですが、線の数の方がおそらく数えにくいと思います。そこで、点をサイコロの視察から数えた後、オイラーの多面体定理に代入して、線の数（以下のx）を得ました。（ちなみに面の数は「正n面体」のnそのままです。）
（点、線、面の数） （オイラーの多面体定理）
正４面体 （４、６、４） （４－x＋４＝２ x=６）
正６面体 （８、１２、６） （８－x＋６＝２ x＝１２）
正８面体 （６、１２、８） （６－x＋８＝２ x=１２）
正１２面体 （２０、３０、１２） （２０－x＋１２＝２ x＝３０）
正２０面体 （１２、３０、２０） （１２－x＋２０＝２ x＝３０）
正多角形の面の数が増えていくからと言って、必ずしも点や線の数も増えるわけではないという結果が、面白いです。
さて、上の５つの立体をすべて１個ずつ作るには、合計ちいもす（線）は９０本、ジョイント（点）は５０個必要だと分かりました。
そして実際に作ってもらっている様子が、以下の写真です。計算通り、「ぴったり」と部品を使い切って、「おお～！！」となりました。
作った後もそれらを眺めながら、色々と考察に花が咲きました。
最後は「サッカーボールを作りたい！」（「正５角形と正６角形を何枚組み合わせれば多面体が構成できるか？」）という問題を一緒に考える所で終わりました。
