浅野望です。「球の表面積と体積がなぜこの式で求められるのか理解できない」との質問を受けました。

高校以降で習う積分というツールを使わない,ラフな証明をしました。表面積の公式(4πr2)が求められた前提で,体積についての証明を以下に記します(表面積も説明できるのですが,ここで書くには分量が多いので割愛させていただきます)。

球体の表面を格子柄のように細かく四角形に分割します。細かく細かく分けると,分けたところの表面は平らになります(地球は遠くから見ると丸いですが,私たちの感覚では表面は平らです)。

そのうち1つの四角形(これは 四角形1 と呼びましょう)の表面積を s1 と置き,四角形の頂点から球体の中心に線を伸ばすと,それは半径(以下,r)を高さとした四角錐です。その体積は,

s1 × r ÷ 3

と,表されます。もし仮に,球の表面を n 個(いっぱい)の四角形に分割したとすると,それぞれについて上記の同じように四角錐をつくり,足し合わせてやると,球の体積が出ます。

(s1 × r ÷ 3)  + (s× r ÷ 3)  + ・・・ +(s× r ÷ 3)

分配法則の逆より,

☆ (s1 + s2 + ・・・ + sn) × r ÷ 3

ここで,

s1 + s2 + ・・・ + sn =  4πr

より,☆ 式に代入すると,球体の体積の公式,

4πr3 / 3

が出ます。

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