福西です。

『数学ガールの秘密ノート 式とグラフ』(結城浩、SBCreative)を読んでいます。

「第3章 数式のシルエット」を読み、演習問題を解きました。

内容は、べき関数とそのグラフでした。

最初に、多項式の書き方を見て、なぜ次数をそろえて書く必要があるかを学びました。

一つには、同じ次数の関数は「性質が似ている」からであり、また次数が異なる関数は「相容れない性質」だからです。

その性質とは何でしょうか。

それを可視化するために、グラフを描きました。

1)1次関数

2)2次関数

y=-xやy=3xは、1)のグループに属します。それらは「まっすぐ」という形で似ています。

y=-x2やy=3x2は、2)のグループに属します。それらは「(放物線状に)曲がっている」という形で似ています。(後述のソフトで確認できます)

この「まっすぐ」と「曲がっている」という形、「視覚化された性質」は、今後の数学の土台です。何度強調しても強調しすぎることはありません。

 

また、y=ax2+bx+cは、y=ax2を多少歪めて平行移動したものです。よって、その形には、x2(放物線)の特徴が一番強く出ています。

「次数の高い順に書く」という多項式でのルールは、「形に対する影響力の強い順に書く」という意味なのです。

そしてy=ax2+bx+cは、x2に代表されて「2次関数」と呼ばれるわけです。(もしbx+cがなくても、形には大差ない)

 

なお、グラフの確認には、次のソフトを援用しました。

「GeoGebra」

 

最後に、上のソフトを使って、

y=x

y=x-x3/3!   (!は、3!=3×2×1)

y=x-x3/3!+x5/5!

y=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!

・・・

と項を足し、コキコキと曲がり角が1つずつ追加される様子を見ました。

足しているのは、

xn/n!(nは奇数)という項です。

それをプラス・マイナスで交互に足していくと、

y=sin(x)

という曲線になることを紹介しました。

実は、べき関数は、その(無限個の)重ね合わせで、さまざまに重要な関数を表すことができます。それが、y=xやy=x2を勉強する意義の一つです。

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