福西です。この日は、その頃ちまたで話題になっていたABC予想に寄せて、ピタゴラス数を探しました。4年生のクラスでも取り上げた問題ですが、５年生ならばどのように考えてくれるだろうかと期待しました。
（かなりのところまで法則性を突き止めました）
問い
ピタゴラス数を探せ。
ピタゴラス数というのは、三平方の定理a^2＋b^2＝c^2を満たす自然数解（a,b,c）のことです。たとえば（3,4,5）がその一つです。3^3＝9、4^2＝16、5^2＝25。9＋16＝25。このような「ピッタリカンカン数」を探せという問題です。（ちなみに3、4、5は、直角三角形の3辺の長さに相当します）
手始めに、おなじみの九九の表を作ってもらいました。ただし対角成分のみで、１×１＝１、２×２＝４、…、９×９＝８１の９つです。このような数を「平方数」といいます。（平方は正方形のことです）。さらに５年生なので、そのあと最低でも、２０×２０まで（結局もっと計算したいということで、３０×３０まで）それを実行してもらいました。
（右側と左下にK君とTa君の書いた平方数があります。拡大すると見えますが、実際には20を通り越して30×30まで計算してくれました）
この中から、イコールの右側の２つの数を足して、またもう一つの数になっていれば（要するにこのリストの中にある数であれば）、それがピタゴラス数ということになります。そのように考えて、最初に（3,4,5）と（6,8,10）を見つけてくれました。（このクラスでは（6,8,10）が一番最初に見つかりました）。
そして、K君とTa君は、（3,4,5）と（6,8,10）、そして（30,40,50）も成り立つことを確かめた結果、(3,4,5)の3倍である（9,12,15）や、4倍である（12,16,20）もピタゴラス数ではないか？ と推測してくれました。そして実際、それが成り立っていることを確かめました。
K君とTa君が見つけた解
（3,4,5）
(6,8,10)＝（3,4,5）×2
(9,12,15)＝（3,4,5）×3
(12,16,20)＝（3,4,5）×4
…
（30,40,50）＝（3,4,5）×10
…
一方、To君の考えてくれた平方数の列挙。列挙という事は、つまりこちらも法則を見つけてくれました。
To君の考えた道筋は、次のとおりです。
（5,12,13）は、12と13が1つ違い。そして次に左端の数が7の場合があるのではないかと予想し、頑張って計算をして、（7,24,25）を見つけてくれました。その発見に気をよくして、次に9の場合がないか探したところ、これが今度はなかなか見付かりません。それで、「うーん」となっていたところ、ふと１つ違いの平方数の「差」を取ることに気付いてくれました。
つまり、以下の平方数の並びの隣同士の差を取って、それが平方数になるところはないか？ と探し始めました。これによって、作業がうんとはかどりました。
1:1
2:4 4－1＝3
3:9 9－4＝5
4:16 16－9＝7
5:25 25－16＝9
6:36 …
7:49
8:64
9:81
10:100
11:121
12:144
13:169
14:196
15:225
16:256
17:289
18:324
19:361
20:400
21:441
22:484
23:529
24:576
25:625
26:676
27:719
28:784
29:841
30:900
このような数字を眺めていたとき、また一つ気が付いたことがありました。それは、「差」が3,5,7,9,11,13,15…と、「２ずつ増えている」ことです。
ということは、差が49の次は…と考えると、（64は偶数だからなくて）、81に白羽の矢が立ちます。
81－49＝32
32÷2＝16、
つまり、（9,b,c）＝（9,24＋16,25＋16）＝（9,40,41）
が、ピタゴラス数ではないか？ という予想が成り立ちます。実際確かめてみたところ、（もはや表にはない数の純然たる予想です！）
40^2＝1600
41^2＝1681 （この計算をした時点で、To君が「おっ！」と目を輝かせていました）
81＋1600＝1681 （成り立っています！）
そしてそれまでの結果を並べて書いてみて、それを眺めていたTo君が、さらなる発見を。
（3,4,5）
(5,12,13)
(7,24,25)
(9,40,41)
「これって、真ん中の数と、右の数が、どっちも＋8、＋12、＋16…と、その差も4ずつ増えている！」
ということでした。その予想に従って、次に＋20をしてみると、（11,52,53）が候補となりますが、実際に、
「おお！ やっぱり！」
というTo君の歓声が聞かれました。
というわけで、To君は、先のK君とTa君の見つけた解のリストに、次のような新しい種類を追加してくれたのでした。
To君が見つけた解
（3,4,5）
(5,12,13)
(7,24,25)
(9,40,41)
…
（3＋2＋2＋…、4＋8＋12＋…、5＋8＋12＋…）
そして、上の二つの結果を合わせると、かなり広範な解を見つけたことになります。
K君、Ta君、To君の発見したこと
（3,4,5）×n倍
（5,12,13）×n倍
(7,24,25)×n倍
(9,40,41)×n倍
…
（3＋2＋2＋…、4＋8＋12＋…、5＋8＋12＋…）×n倍
（n＝1,2,3…）
素晴らしい結果です！
さて、ここで問題です。
果たしてこれで、ピタゴラス数は「すべて」見付かったのでしょうか？
実は、そうではありません。これより以前に、Ta君が実際に上のリストには「ない」解を見つけてくれていました。
（Ta君の見つけた解）
そうです！ （a,b,c）の「aが偶数」でかつn倍によって作られていないパターンは、今まで現われてきませんでした。
ここで、「aが偶数である」というだけならば、（3,4,5）を2倍とか10倍して作った（6,8,10）、（30,40,50）のような数がすでに見つかっています。しかし、（8,15,17）という組み合わせは、8なので、(4,b,c)という数がもとで、それを2倍したように見えますが、b,cにあたる数が分数になってしまいます。ということは、（8,15,17）は、いかなる解からもn倍して作られた数ではないことが分かります。Ta君、素晴らしい発見です！
でも、そんなの「ありえない」と思うかもしれません。しかし、実際に計算してみると、
64＋225＝289
17×17＝289
となり、やはりこれもピタゴラス数の一つです。
ということは、ピタゴラス数は「まだまだ存在する」ということになります。