福西です。この日は、その頃ちまたで話題になっていたABC予想に寄せて、ピタゴラス数を探しました。4年生のクラスでも取り上げた問題ですが、5年生ならばどのように考えてくれるだろうかと期待しました。

 

(かなりのところまで法則性を突き止めました)

 

問い

ピタゴラス数を探せ。

 

ピタゴラス数というのは、三平方の定理a^2+b^2=c^2を満たす自然数解(a,b,c)のことです。たとえば(3,4,5)がその一つです。3^3=9、4^2=16、5^2=25。9+16=25。このような「ピッタリカンカン数」を探せという問題です。(ちなみに3、4、5は、直角三角形の3辺の長さに相当します)

 

手始めに、おなじみの九九の表を作ってもらいました。ただし対角成分のみで、1×1=1、2×2=4、…、9×9=81の9つです。このような数を「平方数」といいます。(平方は正方形のことです)。さらに5年生なので、そのあと最低でも、20×20まで(結局もっと計算したいということで、30×30まで)それを実行してもらいました。

 

(右側と左下にK君とTa君の書いた平方数があります。拡大すると見えますが、実際には20を通り越して30×30まで計算してくれました)

 

この中から、イコールの右側の2つの数を足して、またもう一つの数になっていれば(要するにこのリストの中にある数であれば)、それがピタゴラス数ということになります。そのように考えて、最初に(3,4,5)と(6,8,10)を見つけてくれました。(このクラスでは(6,8,10)が一番最初に見つかりました)。

 

そして、K君とTa君は、(3,4,5)と(6,8,10)、そして(30,40,50)も成り立つことを確かめた結果、(3,4,5)の3倍である(9,12,15)や、4倍である(12,16,20)もピタゴラス数ではないか? と推測してくれました。そして実際、それが成り立っていることを確かめました。

 

K君とTa君が見つけた解

(3,4,5)

(6,8,10)=(3,4,5)×2

(9,12,15)=(3,4,5)×3

(12,16,20)=(3,4,5)×4

(30,40,50)=(3,4,5)×10

 

一方、To君の考えてくれた平方数の列挙。列挙という事は、つまりこちらも法則を見つけてくれました。

 

To君の考えた道筋は、次のとおりです。

 

(5,12,13)は、12と13が1つ違い。そして次に左端の数が7の場合があるのではないかと予想し、頑張って計算をして、(7,24,25)を見つけてくれました。その発見に気をよくして、次に9の場合がないか探したところ、これが今度はなかなか見付かりません。それで、「うーん」となっていたところ、ふと1つ違いの平方数の「差」を取ることに気付いてくれました。

 

つまり、以下の平方数の並びの隣同士の差を取って、それが平方数になるところはないか? と探し始めました。これによって、作業がうんとはかどりました。

1:1

2:4  4-1=3

3:9  9-4=5

4:16  16-9=7

5:25  25-16=9

6:36  …

7:49

8:64

9:81

10:100

11:121

12:144

13:169

14:196

15:225

16:256

17:289

18:324

19:361

20:400

21:441

22:484

23:529

24:576

25:625

26:676

27:719

28:784

29:841

30:900

 

このような数字を眺めていたとき、また一つ気が付いたことがありました。それは、「差」が3,5,7,9,11,13,15…と、「2ずつ増えている」ことです。

 

ということは、差が49の次は…と考えると、(64は偶数だからなくて)、81に白羽の矢が立ちます。

 

81-49=32

32÷2=16、

 

つまり、(9,b,c)=(9,24+16,25+16)=(9,40,41)

 

が、ピタゴラス数ではないか? という予想が成り立ちます。実際確かめてみたところ、(もはや表にはない数の純然たる予想です!)

40^2=1600

41^2=1681 (この計算をした時点で、To君が「おっ!」と目を輝かせていました)

81+1600=1681 (成り立っています!)

 

そしてそれまでの結果を並べて書いてみて、それを眺めていたTo君が、さらなる発見を。

(3,4,5)

(5,12,13)

(7,24,25)

(9,40,41)

 

「これって、真ん中の数と、右の数が、どっちも+8、+12、+16…と、その差も4ずつ増えている!」

 

ということでした。その予想に従って、次に+20をしてみると、(11,52,53)が候補となりますが、実際に、

「おお! やっぱり!」

 

というTo君の歓声が聞かれました。

 

 

というわけで、To君は、先のK君とTa君の見つけた解のリストに、次のような新しい種類を追加してくれたのでした。

 

To君が見つけた解 

(3,4,5)

(5,12,13)

(7,24,25)

(9,40,41)

(3+2+2+…、4+8+12+…、5+8+12+…)

 

そして、上の二つの結果を合わせると、かなり広範な解を見つけたことになります。

 

K君、Ta君、To君の発見したこと

(3,4,5)×n倍

(5,12,13)×n倍

(7,24,25)×n倍

(9,40,41)×n倍

(3+2+2+…、4+8+12+…、5+8+12+…)×n倍

(n=1,2,3…)

 

素晴らしい結果です!

 

さて、ここで問題です。

 

果たしてこれで、ピタゴラス数は「すべて」見付かったのでしょうか?

 

実は、そうではありません。これより以前に、Ta君が実際に上のリストには「ない」解を見つけてくれていました。

 

(Ta君の見つけた解)

 

そうです! (a,b,c)の「aが偶数」でかつn倍によって作られていないパターンは、今まで現われてきませんでした。

 

ここで、「aが偶数である」というだけならば、(3,4,5)を2倍とか10倍して作った(6,8,10)、(30,40,50)のような数がすでに見つかっています。しかし、(8,15,17)という組み合わせは、8なので、(4,b,c)という数がもとで、それを2倍したように見えますが、b,cにあたる数が分数になってしまいます。ということは、(8,15,17)は、いかなる解からもn倍して作られた数ではないことが分かります。Ta君、素晴らしい発見です!

 

でも、そんなの「ありえない」と思うかもしれません。しかし、実際に計算してみると、

 

64+225=289

17×17=289

 

となり、やはりこれもピタゴラス数の一つです。

 

ということは、ピタゴラス数は「まだまだ存在する」ということになります。

 

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