『無限論の教室』(野矢茂樹、講談社現代新書)を読んでいます。

「第九週」の後半を読み終えました。

対角線というのは、自己言及を作り出すしかけになっていたんだ。

ということを見ました。

対角線論法と、ラッセル集合を考える「意味」とが出会いました。

このテキストの一つのクライマックスです。

p158の図と、以下の定義を、暇があれば何度でも往復してほしいと思います。すぐは分からなくても、そのうちに「!」となります。

(テキストp158の対角線論法とラッセル集合とを表す図)

定義

(x,y)=0 ⇔ yはxを要素に持たない

(x,y)=1 ⇔ yはxを要素に持つ

この定義から、y=xの場合、つまり(x,x)について考えます。(「要素に持つ」は「中身にある」という意味です)

たとえば、

(犬の集合、犬の集合)=0

⇔ 犬の集合は、犬の集合を要素に持たない

は真です。

なぜなら、マルチーズも柴犬も「犬の集合」の要素ですが、その全体は「犬ではない何か」(概念であって生き物ではない)で、要素ではないからです。

同様に、

(犬ではない集合、犬ではない集合)=1

⇔ 犬ではない集合は、犬ではない集合を要素に持つ

は真です。

なぜなら、「犬ではない集合」は、犬ではないから、「犬ではない集合」の中に入ります。

(流し読みだと「?」となると思いますが、立ち止まって考えれば、「な~んだ」となる箇所です)

上の例から、

犬の集合は「自分自身を要素として持たない集合」、

犬ではない集合は「自分自身を要素として持つ集合」

になります。

そして「ラッセル集合を作る」ということは、上の例の「犬の集合」、(x,x)=0であるような集合をみんな集めてくる、ということです。

集める、つまりその存在を=1とすることが、対角線論法において「0を1に反転させる」という作業に相当します。

同様に、(x,x)=1であるような集合をみんなはじくことが、「1を0に反転させる」ということです。

 

そしてそれがp158の図の交点において、パラドックスを起こしている! というわけです。

 

 

 

 

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