福西です。
『図形のお話』（中田寿幸、実業之日本社）のp110～122を読みました。
・立体図形を切るとできる形
・回転図形
の内容に触れました。
断面（切り口）を考えることとは、その図形より次元の下がった図形を考えることです。
立体の断面図は面。
面の断面図は線。
線の断面図は点。
点は０次元。線は１次元。面は２次元。立体は3次元です。
また、図形の境界（カバーになってもの）を考えても、次元が変化します。
球体の境界は球面。（３→２次元）
球面の境界は輪。（２→１次元）
輪の境界は点。（１→０次元）
また、立体に光を当てて、その影を見ると、影もまた次元が１つ落ちていることに気付きます。
小学校で習う図形は、計算メインの算数とは別物に思えます。
ですが将来的には、図形は「式」（方程式や不等式）になります。そしてその式を計算（おもに微分積分）することで、いろいろな問題を解くことができるようになります。
影や切り口、境界、回転体を考えることも、ゆくゆくは「計算せよ」と同じことになります。
残りの時間は、テキストのトピックにある「折り紙で多面体を作る」ことを実際にしました。
次元という概念ははじめてだと思い、以下のことを話しました。
【補足】次元について
＜０次元＞
０次元の代表選手、点です。
では、点を１個持ってきて、「張り合わせ」を考えてみると、どうなるでしょうか…？
＜１次元＞
２つの点の「間」には、点よりも「１つ上」の次元の図形が現れています。これを「線」と呼んでいるわけです。
では、線をもう１本持ってきて、それ同士（の各点）を張り合わせてみると…。
＜２次元＞
こんな感じになります。これが２次元「平面」です。
平面は無限本の「線」の集まりです。
では、「立体」を作るには、どうしたらいいでしょうか。
それは、今できあがった「面」をもう１つ持ってきて、２つをつなぐことを考えます。
＜３次元＞
このように、おなじみのサイコロ「立体」ができました。
実際に見ることができる図形はここまでですが、生成方法がこれまでと同じなら、より高い次元の図形も同様に「考える」ことはできるはずです。それをやってみます。
今度は必要となる材料は、「立体」が２つです。「立体」にはその境界に面が６つあるので、これらを２つの立体の間で張り合わせることができれば、それが「４次元の図形」になるはずです。どんな感じになるかというと…。
＜４次元＞（胞）
こんな感じになります！
これを４次元の胞といいます。立方体を「４次元方向にずらした」と言ったほうが分かりやすいかもしれません。
ずらす間にできる空間が、「次の」（次元の）空間となります。
また、元の立方体が、４次元胞の「影」です。
あるいは、四次元の胞を切ると、その切り口が立方体です。（４次元の金太郎あめをイメージしてください）
次元を1つ上げたり下げたりして、そこから眺めることで、それ自身についてより詳しく調べる（解析する）ことができます。
たとえば、
「立体とは、立体である」
よりも、
「立体とは、それを２つの立体の部分にするためには、面を必要とする図形である」
「立体とは、上面、横面、正面の三つの面を影に持つ図形である」
と言い表した方が認識が深まります。
「Ａ＝Ａ」という理解から「Ａ＝Ｂ」という理解へ進むことが、考えること、すなわち数学の楽しみです。