福西です。

『図形のお話』(中田寿幸、実業之日本社)のp110~122を読みました。

・立体図形を切るとできる形

・回転図形

の内容に触れました。

 

断面(切り口)を考えることとは、その図形より次元の下がった図形を考えることです。

立体の断面図は面。

面の断面図は線。

線の断面図は点。

点は0次元。線は1次元。面は2次元。立体は3次元です。

 

また、図形の境界(カバーになってもの)を考えても、次元が変化します。

球体の境界は球面。(3→2次元)

球面の境界は輪。(2→1次元)

輪の境界は点。(1→0次元)

 

また、立体に光を当てて、その影を見ると、影もまた次元が1つ落ちていることに気付きます。

 

小学校で習う図形は、計算メインの算数とは別物に思えます。

ですが将来的には、図形は「式」(方程式や不等式)になります。そしてその式を計算(おもに微分積分)することで、いろいろな問題を解くことができるようになります。

影や切り口、境界、回転体を考えることも、ゆくゆくは「計算せよ」と同じことになります。

 

残りの時間は、テキストのトピックにある「折り紙で多面体を作る」ことを実際にしました。

 

次元という概念ははじめてだと思い、以下のことを話しました。

【補足】次元について

<0次元>

0次元の代表選手、点です。

では、点を1個持ってきて、「張り合わせ」を考えてみると、どうなるでしょうか…?

<1次元>


2つの点の「間」には、点よりも「1つ上」の次元の図形が現れています。これを「線」と呼んでいるわけです。

では、線をもう1本持ってきて、それ同士(の各点)を張り合わせてみると…。

<2次元>


こんな感じになります。これが2次元「平面」です。

平面は無限本の「線」の集まりです。

では、「立体」を作るには、どうしたらいいでしょうか。

それは、今できあがった「面」をもう1つ持ってきて、2つをつなぐことを考えます。

<3次元>


このように、おなじみのサイコロ「立体」ができました。

実際に見ることができる図形はここまでですが、生成方法がこれまでと同じなら、より高い次元の図形も同様に「考える」ことはできるはずです。それをやってみます。

今度は必要となる材料は、「立体」が2つです。「立体」にはその境界に面が6つあるので、これらを2つの立体の間で張り合わせることができれば、それが「4次元の図形」になるはずです。どんな感じになるかというと…。

<4次元>(胞)

こんな感じになります!

これを4次元の胞といいます。立方体を「4次元方向にずらした」と言ったほうが分かりやすいかもしれません。

ずらす間にできる空間が、「次の」(次元の)空間となります。

また、元の立方体が、4次元胞の「影」です。

あるいは、四次元の胞を切ると、その切り口が立方体です。(4次元の金太郎あめをイメージしてください)

 

次元を1つ上げたり下げたりして、そこから眺めることで、それ自身についてより詳しく調べる(解析する)ことができます。

たとえば、

「立体とは、立体である」

よりも、

「立体とは、それを2つの立体の部分にするためには、面を必要とする図形である」

「立体とは、上面、横面、正面の三つの面を影に持つ図形である」

と言い表した方が認識が深まります。

「A=A」という理解から「A=B」という理解へ進むことが、考えること、すなわち数学の楽しみです。

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