福西です。

『無限論の教室』(野矢茂樹、講談社現代新書)を読んでいます。

第八週を読みました。

前回、「実数よりも、実数の部分集合の方が濃度が大きい」ということから、「べき集合(のべき集合のべき集合…)を考えることで、濃度を(いくらでも)大きくできる」という結論を得ました。

今回はその証明部分です。

前々回のおさらいとして、自然数と実数の1対1対応に矛盾があることは、以下のような対角線論法で証明できました。

xy座標のx軸に自然数を刻み、y軸をその90度回転とする。

そしてy軸の自然数1つ1つの横に、実数を表す2進数(101011…など)*を書きつらね、それで「自然数と実数が1対1対応できた」と仮定する。

対角線(グラフy=x上にある点)にある0と1を反転させ、新しい2進数(実数)を作る。

それは、xy平面(の第1象限)にはまだどこにも表れていない。

よって、「自然数と実数が1対1対応できた」という仮定がそもそも間違っている、ということが証明できた。

これの目盛りのきめを細かくしたのが、次の段階です。

xy座標のx軸に実数を刻み、y軸をその90度回転とする。

そしてy軸の実数1つ1つの横に、実数の部分集合を表す2進数(101011…など)*を書きつらね、それで「実数と実数の部分集合が1対1対応できた」と仮定する。

対角線(グラフy=x上にある点)にある0と1を反転させ、新しい2進数(実数の部分集合)を作る。

それは、xy平面(の第1象限)にはまだどこにも表れていない。

よって、「実数と実数の部分集合が1対1対応できた」という仮定がそもそも間違っている、ということが証明できた。

(*部分の詳しい説明は、テキストを参照してください)

 

上のアナロジーは、いったん分かってしまうと、「なあんだ、そんなことか」となるのですが、そうなるまでには時間がかかると思います。興味を持ってあきらめず、「真珠採り」のように何度ももぐってみてください。そのつど「気になる」ことが勉強の秘訣だと思います。

というわけで、実数よりも実数の部分集合の方が要素が多い(すなわち濃度が大きい)ことが分かりました。それを踏み台にして、「べき集合を考えることで、濃度を大きくできる」という結果が得られます。

 

ところで、集合の濃度については、ふつうの足し算ができません。

小さい濃度a+大きい濃度b=大きい濃度b

と、大きい方に吸収されてしまうからです。

これは、2、3例を挙げれば、すぐに納得できると思います。

自然数{0,1,2,3,4…}の濃度+整数{0,±1,±2,±3,±4…}の濃度=整数の濃度

自然数の濃度+実数の濃度=実数の濃度

一見、だからどうということはなさそうですが、実はこの事実を認めてしまうと、

「べき集合を作ると、濃度を大きくできる」

という、先の結果と矛盾します。

なぜなら、

べき集合は、もとの集合の和で作るからです。その要素1つ1つは、もとの集合と同じ濃度であるはずです。つまり、

a+a+a+a+…=a であるはずなのに、

a+a+a+a+…=b ?(いつbになったの?)

これが、カントールのパラドクスです。

ここで、

「集合の集合」(べき集合など)を考えることって、よしとしているけれど、本当によかったの?

という疑問につきあたります。

素朴でいいじゃないか、という立場と、いやいや待ってくれ、という立場があります。

次回は、「いやいや待ってくれ」の主張を掘り下げます。「ラッセルのパラドクス」という面白い内容です。

 

 

 

 

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