福西です。この日は、エラトステネスのふるいをしました。
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（このように６列の数表を用意します） （ふるいを実行し、残った数が素数です）
「エラトステネスのふるい」とは、２の倍数、３の倍数、５の倍数、７の倍数…と、表にある数を順番に消していく（ふるいにかける）方法です。
このやり方で問題となるのは、順番に倍数を消していくと言っても、それが何の倍数までふるいにかければよいのかということです。たとえば上の表で、100までの素数を知るために、99の倍数までふるいにかける必要があるのでしょうか？ そこが実際的で、そして一番の疑問点です。
授業では、まず経験的に素数を見つけるところからしました。その時、すでに生徒たちは自分で「偶数をまず消す」ということや、「４の倍数はさっき２の倍数で消したから消す必要がない」ことも見つけてくれていました。そして、
「４の次は？」
「５（の倍数）を消さなあかんなあ」
「なら、６の倍数はどうする？」
「さっき偶数を消したときに、消えているから消す必要はない」
「じゃあ、７の倍数は？」
「まだ消えてない。だから消す必要がある」
「８の倍数は？」
「これも偶数のときに消えている」
「９は？」
「３のときに、一緒に消えている」
「１０は？」
「５のときに消えている」
と。このように、エラトステネスのふるいを知らないところで、ほぼ実際のそれと同じ物を自分たちで発明してくれたことになります。これには驚きました。それは、あたかも道具のない無人島で、自分で道具を発明して、それを使ってサバイブしてくれるかのような、頼もしいことだと感じました。
そして、１００までの数で、きっちり２５個の素数を見つけ出してくれました。お見事です。
さてここで私の方から「１１の倍数は？」と質問したとき、Ta君が、
１１×２＝２２、１１×３＝３３、１１×４＝４４…１１×９＝９９
という数の並びについて、
「それらは×２、×３…×９としている時点で、すでにそれまでに考えた（９までの）倍数に含まれている」
ということを見抜いてくれました。なので、それらを考える必要はない、と。そしてTa君が続けて言うには、
「だから、１１×１０＝１１０で、その時点で（今考えている）１００を越えるから、１１（の倍数）まで考えればよい」
と。（補足：正確に言うと、×１１を「考える必要はない」と先に結論づけているので、「×１０まで考えればよい」と言い直せます）。見事な考察です。
実際には、エラトステネスのふるいでも、Ta君が考察してくれたように、10の倍数までふるいにかければよいことになります。では、なぜ１０までなのか、別の角度から少し光を当てて見ましょう。
そこで思い出すことは、「約数」です。
たとえば、１２で考えると、
１×１２
２×６
３×４
と来て、次に、
４×３
６×２
１２×１
となります。よって、１、２、３、４、６、１２が１２の約数です。（そして１とそれ自身しか約数に持たない数が素数です）
ここで注目するのは、３×４と４×３です。ここは、ちょうど１２にとって、かけ算の意味での真ん中にあたります。（もちろん厳密には√12×√12のことで、あとでこのルートが本質的な理解になります）。
さて、４×３とした時、ちょうど数が反転していることに気付きます。つまり、ここで「真ん中を越えた」からです。６×２も、２×６の反転です。要するに、真ん中を越えたところから、同じ数が繰り返し出てくることに気付きます。
また、１２＝２×６の意味するところは、「１２が２で割り切れる」ということは、「１２は６でも割り切れる」ということです。ということは６で割り切れるかどうかを調べるまでもなく、２を調べた時点で、それは調べたことになります。
もし１２が、真ん中を越えた数である「５」で割れたとすれば、それは、真ん中を越えるまでの数で割れていることになります。
ということは、１００の約数についても、真ん中は１０×１０なので、「１０の倍数までふるいにかければよい」ことが分かります。
次回は、論理パズルにちなんだ、少し面白いことを実験します。「４回の質問で、相手に２回うそをつかせるにはどうすればよいか？」ということを考えてみます。