福西です。

『無限論の教室』(野矢茂樹、講談社現代新書)の「第7週」を読みました。

今回の主役は、部分集合です。

その名の通り、集合の要素を一部分だけ抽出した集合のことです。

無限集合から作った部分集合もまた、無限集合になることがよくあります。

たとえば、自然数は実数の部分集合です。そして、無限集合です。

 

そして、つぎにべき集合という概念を考えました。

「ある集合に対して、その要素を使って考えうる部分集合のすべて(を要素に持つ集合)」のことです。

たとえば、

集合A={1、3、5、7、9}

に対して、その要素を使って考えうる部分集合のすべては、

・要素が0個(何も選ばない)

{}  空集合

・要素が1個

{1}{3}{5}{7}{9}

・要素が2個

{1、3} {1、5} {1、7} {1、9}

{3、5} {3、7} {3、9}

{5、7} {5、9}

{7、9}

・要素が3つ

{1、3、5} {1、3、7} {1、3、9}

{1、5、7} {1、5、9}

{1、7、9}

{3、5、7} {3、5、9}

{3、7、9}

{5、7、9}

・要素が4つ

{1、3、5、7} {1、3、5、9} {1、3、7、9}

{1、5、7、9}

{3、5、7、9}

・要素が5つ(全部を選ぶ)

{1、3、5、7、9} 全集合

以上、計32個あります。

この32個の集合すべてを要素として持つ集合のことを、べき集合と呼びます。

もとになった集合Aと別物であることに注意して下さい。

Aは、{1、3、5、7、9}

で、

Aのべき集合は、

{ {} {1}{3}{5}{7}{9} {1、3} {1、5} {1、7} {1、9} {3、5} {3、7} {3、9} {5、7} {5、9} {7、9} {1、3、5} {1、3、7} {1、3、9} {1、5、7} {1、5、9} {1、7、9} {3、5、7} {3、5、9} {3、7、9} {5、7、9} {1、3、5、7} {1、3、5、9} {1、3、7、9} {1、5、7、9} {3、5、7、9} {1、3、5、7、9} }

です。いわば集合の集合です。

授業では、このような有限の場合でべき集合を作る演習をしました。

 

ところで、べき集合の要素を具体的に全部書きだすのはしんどいですが、その総数が32だということは、次のようなアイデアですぐに調べられます。

1 3 5 7 9

{□|□|□|□|□}

□にスイッチがあると思ってください。

ON/OFFで、ONならその数を入れます。OFFならその数を入れません。

たとえば、

{ON|ON|OFF|OFF|OFF}

なら、

{1、3}

を作ることになります。

要するに、1つの要素に対してON/OF2通りの選択肢があるので、スイッチの数だけそのかけ算、

2×2×2×2×2 (2の5乗)

=32

通りあるとわかります。

これが、べき集合の「べき」の名前の由来です。同じ数をかける「~乗」のことを、数学では「べき」と言います。

もとの集合の要素が1個増えるごとに、べき集合の要素は2倍になり、爆発的に増えることが分かると思います。

 

そしてこの爆発的に増える要素の個数が、べき集合の濃度です。この勢いをもってして、実数よりも濃い濃度を達成できないか、が今週のテーマでした。

(ちなみに2次元、3次元、4次元…と集合の次元を上げても、実数より濃くできないことは、「第4週」でみました)

 

自然数のべき集合は、2×2×2×2…を無限回した個数の要素を持つことになります。

その要素の数(濃度)は、実数のそれと同じになります。

さらに、実数のべき集合を考えます。

濃度について、実数のべき集合が実数よりも濃いことは、対角線論法で証明できます。(「自然数と実数」のときとパターンは同じです)。

結果だけまとめると、

濃度については、

自然数<自然数のべき集合=実数<実数のべき集合

この後も続けることができて、

実数のべき集合<実数のべき集合のべき集合<実数のべき集合のべき集合のべき集合<…

こうして、次元では突破できなかった濃度の壁が、「部分集合全部」(=べき)という概念で突破できました。

(ただしカントールの、実無限の立場です)

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