福西です。Ａちゃんの質問の続きです。
２）エラトステネスの篩（ふるい）
Ａちゃんが、
「他の方法で表せたら、それは素数ではない」
という自分の言葉で、素数について納得してくれました。
Ａちゃんの言う「方法」とは、かけ算のことです。
素数は、２、３、５、７などですが、これらは
２＝１×２
３＝１×３
５＝１×５
７＝１×７
と、「１×自分自身」のかけ算でしか表すことができません。（分解できません）
一方、４、６、８、９などは、
４＝２×２
６＝３×２
８＝４×２
９＝３×３
と、「１×自分自身」以外の方法で表すことができます。
Ａちゃんは、この場合を、「素数ではない」と呼ぶことに合点がいきました。
２は１×２なので、素数とみなします。
素数は、２は特別ですが、それ以外はみな奇数です。（３、５、７、１１、１３、１７…）
偶数は、「〇×２」と表せるからです。
個数的には、
自然数＞奇数＞素数
となります。
さて、「任意の数までの素数の個数」を調べたいとき、どうするでしょうか？
ある程度なら、自力でできます。
「１０までの素数の個数は？」
２、３、５、７ →４個
「２０までの素数の個数は？」
（上に加えて）１１、１３、１７、１９ →８個
ここまで来て、
「３０までの素数の個数は？」
には、１２個と答えたくなるかもしれません。
ところが、
（上に加えて）２３、２９ →１０個
となります。
このように、素数の個数は、不規則です。
さて、「５０までのは？」「１００までのは？」
というとき、どうしたらいいでしょうか。
それにこたえてくれる方法の一つが、エラトステネスのふるいです。
エラトステネスのふるいとは、倍数を順番に消していく（ふるいにかける）方法です。
・１を消します。
・２の倍数＝偶数を消します。これでほとんど半分が消えます。（２だけ残します）
・３の倍数＝３の段とその延長の数を消します。（３だけ残す）
・４の倍数は考える必要がありません。２の倍数の時に全滅したからです。
・５の倍数＝１の位が０と５のものを消します。（５だけ残す）
・６の倍数は考える必要がありません。（なぜでしょうか？）
・７の倍数を消します。（７だけ残す）
…
さて、いつまでこれを続ければいいのでしょうか？
「１００までの素数の個数」という設問に対しては、９９の倍数まででしょうか？
それでは、しんどそうです。
実は、どこでストップするかも、エラトステネスの方法は教えてくれます。
１００＝１０×１０（同じ数で分解）
より、「１０の倍数でストップしてよい」と。
なぜなら、１０の倍数を超えた数は、
１１×〇
１３×△
１７×□
…
などと表せますが、相棒の〇、△、□は、１０よりも小さい数のはずです。
つまり、〇の倍数、△の倍数を消すことは実行済み。
ということで、これ以上考えなくていいのです。
この「ストップする数」は、２数のシーソーをイメージするといいと思います。
「５０までの～」なら、
５０≒7.1×7.1なので、７の倍数まで、
「５００までの～」なら、
５００≒22.4×22.4なので、22の倍数まで
となります。
エラトステネスのふるいを実行した結果、１００までの素数は、２５個ありました。
ところで、「～までの素数は何個？」を求める式は、現在発見されていません。
数学における最大の関心事の一つとされています。
その「概数」を求める方法を、ガウス（1777-1855）というナポレオンと同じ時代に生きた人が発見したことを話しました。
そのガウスは、自分では素数や星の研究をしたかったのですが、時の権力者であるナポレオンからは、丸い地球に貼りついた土地の面積を測る研究を命じられました。
その面積のことが、テキスト『図形のお話』でこれから読むところです。