福西です。

それぞれの課題を進めています。

Yta君は、「平行四辺形」の問題を練習しました。

・角度を求めよ

・証明せよ

・この四角形はどんな形か(平行四辺形、ひし形、長方形、正方形)

・平行四辺形(ひし形)になるには、あとどんな条件が必要か

問いの形式が変わるごとに、問題をこなして慣れました。

Yta君は問題ごとに、自分から四角形を、1個1個、描いていました。できることがあればそれをすること、具体化することに労を惜しまないという、考え方における姿勢が良いと思いました。

四角形ABCDにおいて、AB=CD、BC//DAという条件は、いつでも平行四辺形になるように思えますが、台形の場合もありえることを、Yta君の図に対して指摘しました。

Sちゃんは、「順列」と「組み合わせ」の問題を練習しました。

10C8のような大変そうな計算では、10C8=10C2とするのが都合がよいです。

10C8=(10・98・7・6・5・4・3)/(1・23・4・5・6・7・8

は、結局、

10・9)/(2・1)=10C2

になります。

教科書を見せてもらったところ、公式として載っていなかったので、それを補足しました。

上のことの納得には、二通りの道が考えられます。

1)パスカルの三角形を描いて、その左右対称性から理解する。

2)nCm=nC(n-m)を定義から証明する。

Sちゃんは、1)よりも2)の説明で腑に落ちたようでした。

nCm=n!/(m!・(n-m)!)

nC(n-m)=n!/((n-m)!・(n-n+m)!)=n!/((n-m)!・m!)

となり、一致することが確かめられます。

「組み合わせ」の式を、定義に立ち返って、階乗で表すのがミソです。

なお、1)は将来、二項展開を習った時に、もう一度出てきます。(x+1)nのxmの係数がnCmになっており、つながりがあります。

 

Ywa君は「整数論の証明問題」に取り組み、あるタイプの問題に特化して、それを完璧にしました。

nを整数とする。n2+3n-1は5の倍数でないことを証明せよ。

ある数がmの倍数である(ない)ことの証明では、その数mと同じ数だけ場合分けをするのが、「急がば回れ」だと知りました。上の問題では、n=5k、5k+1、5k+2、5k+3、5k+4で「整数n」を場合分けし、それぞれ与式に代入して余りが出ることを示しました。

同様に、「偶数であることを証明せよ」という問題では、

2の倍数という意味なので、

n=2k、2k+1

を代入して2をくくり出すことを考え、

「6の倍数であることを証明せよ」という問題では、

n=6k、6k+1、6k+2、6k+3、6k+4、6k+5

を代入して6をくくり出すことを考えます。

数が増えるとそれだけ場合分けが大変ですが、繰り返し手を動かすうちに方法に慣れてきて、むしろ自信が湧いてきました。

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