福西です。 今回は、第3巻の命題19と21を証明しました。(20は以前にしました)

命題3.21「弦を等しくする円周角はすべて等しい」

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(すみません、かき間違えました。図では∠BCA*が90°となっていますが無視してください。以下ではそのことは使っていないので問題ありません)

有名な「円周角の定理」です。

さてR君は、命題を次のように読み替えてくれました。

「すべての円周角(∠A、∠A’、∠A”…)は、∠A*と等しい」

と。

ここで、∠A*は、弦BCが直径すなわち中心を通るような円周角のことです。

こうすることで、以前に証明した命題3.20「円周角=中心角の半分」が使えるようになります。

すなわち、 ∠BCA*=xとすると、 ∠BOC=2xと表せます。

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【R君の証明】

ADを中心を通る弦(直径)とする。∠BDC=x、そして任意の円周角を∠BAC=yとし、x=yを示す。

∠CAO=cとする。

OA=OCより、△OACは二等辺三角形なので、 ∠OCA=OAC=c。

OC=ODより、∠DCO=∠ODC(=BDC)=x。

OA=OBより、∠OBA=OAB=y+c。

∠POC=∠BOC=2∠BDC=2x←ここで命題3.20を使えるようにしているのがR君のアイデアです。

∠APB=∠OPC=180°-(c+2x)。

よって、△PABについて、以下の式が成り立つ。

180°-(c+2x)+y+y+c=180°

これを整理すると、

y=xとなる。

これが示すべきことであった。

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