福西です。

先週「サッカーボールを作りたい!」という希望があったので、今回はそれを作りました。

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サッカーボールは正5角形と正6角形の組み合わせで貼られた球面です。

そこで今、正5角形の枚数をx、正6角形の枚数をyとして、xとyを求めます。

正5角形は1枚につき頂点が5つあるので、x枚だと頂点は全部で5xあります。正6角形は6y。なので、もしそれら全部が球面の頂点だったとすると、5x+6yとなります。しかし実際には、面の貼り合せで頂点が重複するので、それよりも少ないことになります。

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正5角形ないし正6角形を貼り合せると、一点のまわりには(2枚でも4枚でもなく)3枚の面が配置されることになります(上図)。これより1点を3重に数えていることが分かります。

よって、サッカーボールの本当の頂点の数は、

\frac{5x+6y}{3}

 

と求まります。

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一方、線の方はというと、正5角形と正6角形全部の辺は5x+6yです。それを球面に貼り合せた時に、重複した回数で割ります。上図より、線を2重に数えていることが分かります。

よって、サッカーボールの本当の線の数は、

\frac{5x+6y}{2}

 
と求まります。

面は当然、

5x+6y

 
です。

これを前回の「オイラーの多面体定理」の式点-線+面=2)に代入します。

すると、

\frac{5x+6y}{3}-\frac{5x+6y}{2}+x+y=2

 
となります。

(右辺の2には、実は「3次元-1」という意味があります。(球面を置いている空間の次元が3です。これが平面なら左辺は2-1=1となります。))

これを解くと、

\begin{array}{rcl}2(5x+6y)-3(5x+6y)+6(x+y)&=&12\\  10x+12y-15x-18y+6x+6y&=&12 \\  x&=&12 \end{array}

(不思議とyの項は12-18+6=0で消え、xの項が10-15+6=1でxだけ残ります。)

yの項が消えるということは、条件を追加して考えなければyを求めることはできません。

これは授業では触れませんでしたが、実は単に立体を作るだけならば、yは任意のパラメーターで、それに応じて色々な形を取り得ます。

そこで「正5角形が隣り合わない」という条件を加えます。そうすれば、yは任意ではなくなります。さらに「回転対称」という条件を加えます。これがサッカーボールになる条件です。また後者の(球状になるための)条件を外せば、楕円形のカプセルや、細長い風船(長さがいろいろ変る)のような形もできます。

ただし正5角形については、どんな形状であっても必ず12枚必要だというのが、上の式から出てきた結論です。

ちなみに正5角形は、の両端を閉じるための「ふた」として、その両端に6枚ずつ使うことになります。

下の写真で、K君が作っているこの正5角形6枚(5枚+1枚)による形が、ちょうどその「ふた」です。(黄緑が正5角形)

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今は球にいちばん近い形、サッカーボールを考えているので、筒が一番短い状態、つまり「ふた」を最短で2枚貼り合せた形になります。

するとサッカーボールは、次のような、正6角形を間に1枚挟んで、正5角形が交互に現れるパターンで(どの方向から見ても)構成されていることが分かります。

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さっきはオイラーの多面体定理から、正5角形の枚数が12だと分かりましたが、正6角形の枚数は不明でした。

そこで上の絵をもとに、サッカーボールの場合の正6角形の枚数を考えてみます。(「正5角形は隣り合わない」という条件を付加しています)

まず、赤枠で囲んだ正5角形のまわりに、正6角形は5枚あります(正5角形の辺は5つなので)。そして正5角形は12枚ありました。もしサッカーボールに使う正6角形がこれ全部だとすると、5×12=60枚になるはずです。

しかし当然重複している面があります。

それはどうやって考えるかと言うと、上の絵で赤い点を打った正6角形に注目します。

このまわりには、正5角形が3つあります。(サッカーボールの場合、正5角形は1つ飛ばしに現れるので)

つまり、こっちで見れば、正6角形1枚のために、正5角形を3枚使っていることになります。

ということは、さっきの計算は、3重に数えていたことになります。

なので、

5×12÷3=20。

これが正6角形の数です。

よって、サッカーボールに必要な面の数は、

正5角形12枚、

正6角形20

だと分かりました。

【補足】

実は、サッカーボールは、正20面体から作ることができます。

ボールに使うなら、「正20面体をもっと転がる形にしよう」という発想から、頂点をすりつぶすことを考えます。

それをしていくと、点から正5角形が現れます。(なぜなら1点には5枚の正三角形が貼り付いているから)。

そしてまわりの正三角形の様子を合わせてみると、正5角形に挟まれた部分に、正6角形が浮かび上がってきます。

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(正20面体の点を正5角形に広げていくと、正3角形の面がだんだん正6角形へと変化していきます)

さて、正20面体の頂点の数は12あります。なのでそのまま、それが正5角形の枚数になります。また、正20面体の面の数は20だったので、それがそのまま正6角形の枚数になります。

よって、正20面体から作った立体(すなわちサッカーボール)は、

正5角形12枚、

正6角形20枚

だと分かりました。

サッカーボールは32面体なんですね。
(でも「正」じゃないというのがミソです)

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