福西です。
この日は、このクラスの生徒たちに、私が一番伝えたい内容をしました。
山びこ通信でも触れましたが、「１」「２」「３」「４」の並び替えが何通りあるか？ という問題です。
実はこのクラスでも秋学期に一度したことがあり、今回は復習となります。
案の定、「これ前にもやったことがある！」と言う生徒がいたので、「じゃあ、復習しよう。もし人に教えられるぐらい分かってたら、本当に分かっていることになるから」と促しました。
さて、「１」は１通りです。（これ、大事です！）
そして、「１」「２」は、「１」「２」と「２」「１」の２通りです。
では、「１」「２」「３」は、３通りかというと、そうではありません。
帰納的に生徒たちに手を動かしてもらったところ、以前した経験が思い出され、割とすらすらとできていました。そこで、次のことに気付いた人がいました。
「１」ではじまるのが２通り、（「１」「２」と「１」「３」）
「２」ではじまるのも２通り、（「２」「１」と「２」「３」）
「３」ではじまるのも２通り、（「３」「１」と「３」「２」）
計６通り。
このように「カテゴライズする」あるいは「スタックする」というのが、問題の見通しをよくする視点の一つです。それを理解した人は、さっそく「１」「２」「３」「４」の場合でも試していました。
「１」ではじまるのが６通り、
「２」ではじまるのが６通り、
「３」ではじまるのが６通り、
「４」ではじまるのが６通り、
計２４通り。
では、ここで「６通り」の意味もわかっているかどうか、生徒たちにたずねてみました。すると、「だって、さっきの問題（１～３までの場合）の答が６通りだったから！」と返ってきました。その通りです。
一方、T君は樹形図を知っていて、それでも理解できることを示してくれました。
こうなると、あとは簡単です。２４通りをスタックしておいて、「１」「２」「３」「４」「５」の場合でも、それを次のように足せばいいからです。
「１」ではじまるのが２４通り、
「２」ではじまるのが２４通り、
「３」ではじまるのが２４通り、
「４」ではじまるのが２４通り、
「５」ではじまるのが２４通り、
計１２０通り。
このように、算数は「いかに楽するか」の勉強だと思います（笑）。
正直、１２０通りも書き出すのは骨が折れますし、それをしたところで、あまり意味がある努力とはいえません。ただしもちろん、帰納的な法則をつかむまでは、その作業にはとても意味があります。それは上で見た通りです。つまり、後に苦労をせずともよくなったのは、以前のところで、実際に手を動かして法則を見つけたおかげです。
要するに、「何もしない」わけではなく、「法則をつかむまで手を動かし続ける」（そのうち頭が考えてくれる）、というわけです。ぜひ「わしの円を乱すな！」と言えるぐらい、手を動かすことに没頭してほしいと思います。
さて、このあとは、次の計算をしてもらいました。
１＝
１×２＝
１×２×３＝
１×２×３×４＝
１×２×３×４×５＝
・・・
１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０＝
ちなみに「電卓を使う？」と私が聞くと、生徒たちは「いや、これくらいだったら、筆算でできる！」という頼もしい返事でした（^^）。
これも前に計算したことがあるのですが、（そしてＳちゃんが「１×２×・・・×５０」について考えてくれたことを、前の記事では書きましたが）、これもよくできていました。
最後に、２×２マスの枠が２４個かかれた用紙を配り、１、２、３、４を埋めるパターンを書き出してもらいました。見た目が変わるだけで、これも前と同じことをしているのですが、ちょっとだけ「ん？」となった様子でした。それでも、「左上に１が入るのが６つ、２が入るのが６つ・・・」というように、カテゴライズすることを思いつき、「数え洩れ」と「数えすぎ」をうまく回避していたところに、「ちゃんと分かっているな」という様子が伺えました。
さて、T君が事情により、山の学校に来て参加してくれるのは、この授業までとなりました。この日のT君の集中力たるや、いつもの二倍、三倍にも感じられました。上の問題を解き切った後も、「まだすることはないですか？」と私をせっつき、それならばと論理パズルを出したところ、時間の許す限り、解答を書き上げてくれました。私としても、伝えられることは精いっぱい伝えたつもりです。そのことを最後に書き記しておこうと思います。
Ｔ君の今後のますますの活躍を応援しています。