福西です。
最初の時間では、ウォーミングアップとして、「天秤算」をしました。
天秤が１つだと単なる足し算引き算に終わるのですが、２つ、３つになると、連立方程式を解くのと同じ困難さがあって、一筋縄ではいきません。（ちなみにここでは連立方程式のテクは使いません）。
他のパズルと同じで、こうだからこうと理屈で考えていきます。登り口の多い登山と似ていて、どこから着目して解いていってもよく、順序だっておもりの重さ（未知数）を決定していきます。そして最終的な答がばちっと出た時には爽快感があります。自分の着眼点を大事にできるので、改めて良パズルだと思います。（この手の問題は、連立方程式が解ければ意味がない、という人もいますが、実は「ロジック」という別の頭を使う点に意味があります）。
今回は、どの生徒も一問にかける時間が予想外に早く、楽勝ムードでした。これから少しずつステップアップしていくつもりです。
さて、新年最初の授業では、かけ算をベースにした整数論の問題を考えました。（これまでのおさらいです）
第１問
１００までの数で次のような数はいくつあるか？
１）２で割り切れる数、３で割り切れる数、・・・１０で割り切れる数
２）２でも３でも割り切れない数、３でも５でも割り切れない数、・・・（以下その組み合わせ）、素数
１）は楽勝でした。「割り切れる数」というのは、つまり「倍数」のことです。生徒たちはノーヒントで１００÷nの計算を実行して求めていました。（n＝２～１０）
問題は２）からです。これには色々な考え方があります。もし知っていれば、集合論的に（ベン図を使って）考えるのが一番紛れが少ないのですが、生徒たちは１００までの数表を使って、以前やった「エラトステネスのふるい」流に線で消していって、数え上げていました。たぶん、数え間違いがあるだろうと思って見ていたのですが、意外と精度が高く、正確な答を出していることに驚きました。また、１００までの素数は、２５個です。（これは２６と答えている人が多かったです^^）
第２問
１）１×２×・・・×９×１０の答に、×２はいくつ含まれるか？ また×５はいくつ含まれるか？
２）答の末尾に、０はいくつつくか？
これが今回のメインです。10！（10の階乗）です。大きな数になるので、一見、０がたくさんつきそうですが、じつは次のように考えると、意外な結論が待っています。
１）かけ算は、計算の順序を交換してもよい。
２）×１０で、末尾に一つ０がつく。
３）×１０になるのは、×１０か、２×５しかない。
問題のおぜん立てのところで、
４＝２×２
６＝２×３
８＝２×２×２（これが２が多いですね）
１０＝２×５
と、因数分解をして、×２の数を求めると、７個あります。
一方×５は、
５＝５
１０＝２×５
と、２個しかありません。
そして、問題となっている「末尾の０の個数」にとっては、×２がいくらたくさんあっても、ペアとなる×５に制限されて、結局×１０が作れるのは、×５と同じ分だけ、ということになってしまいます。
つまり、
１×・・・×１０
＝１×３×４×６×７×８×９×２×５×１０
なので、０は２つしかつきません。
（ １０！＝３６２８８００）
よって、次の結果が得られます。
「階乗は、因数分解して５の個数だけ末尾に０がつく」
これをよく理解してくれた生徒たちには、次に２０！や１００！についても考察してもらいました。
２０！＝２４３２９０２００８１７６６４００００
１００！＝９．３３２６・・・× 10157
関数電卓を使っても、さすがに最後の１００！は末尾の情報が隠れてしまっています。ですが、×５の数を数えると、簡単です。
まず、本当かどうか自信を持つために、２０！から。
それについては、５、１０、１５、２０と、４つ。つまり、末尾の０は４つ。なので実際と合っています。
では、×１００！についても同様に考えてみます。
ただ、「同様に」とは言いましたが、うっかり落とし穴（なまじ法則を当てはめた時の怖さ^^）があります。
単純に５の倍数だけで数えると、１００までのそれは「２０個」あります。しかし問題は×５という「因数」の個数です。つまり、２０＋αがあります。
２５＝５×５
５０＝５×５×２
１００＝５×５×２×２
ここで、５がだぶっていることに注意すると、２０＋３＝２３。よって、１００！は、「末尾に０が２３個つく」のが正解です。