かず５・６年

U君：5÷4や100÷99について
T君：3^n÷23
N君：2^n÷37

U君は割る数と割られる数の差が「１」の時について、以下のように調べました。

5÷4＝1…1
10÷4＝2…2
15÷4＝3…3
20÷4＝5
25÷4＝6…1
30÷4＝7…2
35÷4＝8…3
40÷4＝10

U君の発見は、（割る数と割られる数の差が「１」であれば）最初の部分が1…1, 2…2, 3…3 と非常にきれいな並びをしていること、そして余りが(0),1,2,3と巡回していることです。

ここで「20÷4はどうして4…4とならないのか？」と尋ねると全員が口をそろえて「余り4はもう１回４で割れるから！」と答えていました。

さて、100÷99だとさらにきれいな結果が得られました。

100÷99＝1…1
200÷99＝2…2
300÷99＝3…3
400÷99＝4…4
…
9800÷99＝98…98

と並び、9900÷99＝100ではじめて割り切れることが確かめられます。これも面白い結果です。この「差が１」の計算に対するU君の発見は、このあとも1/2－1/3など、分母の差が１の引き算にも現れてくると思います。

N君とT君の調べたことも、ここで全部書ききれないのが残念ですが、同じ結果に至っていたので、代表でTK君の方を書きます。

T君
「3^n÷23の余りは、３,９,４,１２,１３,１６（n＝1から6まで）
となっています」

ぱっとみて分かることは、３から９に、４から１２へは３倍ずつになっていることです。そこで私は「１６の次に何が来るか？」と質問しました。そこでみんな計算を始めました。3^7＝2187を計算してから、それをさらに23で割って、９５…２という答を出していました。

しかしもっと簡単に分かる方法は無いでしょうか。たとえば１２から１３へはどういう規則があるのでしょうか？　どうやら３倍と関係がありそうだということが分かっていたので、そのまま１２の３倍をしてもらいました。３６です。それは１３とどういう関係があるでしょうか。すると口々に「３６－２３！」と答が返ってきました。

ということは、3^7の余りの時も、2187÷23と計算せずとも１６×３＝４８から分からないでしょうか。するとN君が、「４８の中には２３が１回のみならず２回。だからそれを取り除いてしまったら、あまりが２となる」と答えてくれました。それにT君とU君も納得しました。

最後に私の方で、余りが巡回することを示しました。

たとえば2^n÷13の余りは、2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1で、次にまた2,4…と繰り返し（巡回し）ます。つまり１２の長さの節を持ちます。一方2^n÷17は、÷13よりも長い節を持つかというと、そうではないところが面白くて、「2,4,8,16,15,13,9,1」と８の長さで一巡してしまいます。（終りが常に1であることを生徒が指摘してくれました）

さてそこで宿題です。なぜこの１巡（節）の中には、同じ数が無いのでしょうか。たとえば、2,2,3,4,2,4,1 　2,2,3,4,2,4,1…というように、同じ数を重複しながら巡回することはないのでしょうか？　それが問題です（私も実は証明できません）。