かず５・６年

福西です。今日は数論をする週で、「割り算であまりが巡回する節が長いものを見つけなさい」という問題を出しました。

たとえば、1÷6＝0.6|6|6|・・・　なので、6だけがこの後繰り返します。それを、「1÷6の商は、長さ１の節を持つ」と見なします。

また、2÷7＝0.285714|285714|28・・・　なので、285714が繰り返します。これは「2÷7の商は、長さ６の節を持つ」と見まします。

そこで、U（UK)君、N（NT)君、T（TK)君の3人がそれぞれ計算を始めました。

U君は、節が１つのものを3回見つけ後、

１２３４５６７８９１０÷１２　をしました。

ところが、これもまた残念なことに１０２８８９６５７５．８｜３｜３｜３…
と、節が１つしかありませんでした。そこで、U君は「そっか！こうしよう」と、次のように調べました。

１２３４５÷１２

これでU君の計算では長さ６の節の答が出たのですが、あとで調べてみると、計算間違いで1028.75で割り切れてしまいました。実に残念！

N君はというと、７０÷４６　を調べていました。計算が一苦労で、20分かかっても途中節の終りが見つからないように思えたのですが、よく見ると、循環が起こっていることに気付きました。

７０÷４６＝１．５２１７３９１３０４３４７８２６０８６９５６｜５２１…

この５２１のしっぽを見つけたとき、「おお！」と喜びました。節の長さは２２ありました。

そして、T君は割る数を固定して、次のように調べていました。

２３÷７＝３．２８５７１４｜２８５７１４…　（節２８５７１４）
１２÷７＝１．７１４２８５｜７１４２８５…　（節７１４２８５）
１８÷７＝２．５７１４２８｜５７１４２８…　（節５７１４２８）

T君は最初、これらの節の長さがいつも６であることに疑問を持ち、あれ？と思ってから、「２８５７１４の６種類の数字しか出てこない」ことに気付きました。そこから次に「あ！もしかして！　これって、どれも同じ順番で繰り返しているんやないやろうか？」ということを発見しました。

それはこういうことです。上の２３÷７の節を続けると、２８５７１４｜２８５７１４｜２８５…となりますが、これを別のところできれば、２８５｜７１４２８５｜７１４２８５…となります。これは、１２÷７とまったく同じ循環です。そして予想通り、後のどの節も、延長すれば同じく「２８５７１４…」という順番で繰り返していることに気付きました。これは大発見です！

そこで、疲れたかなと思って私が「ここらで次のことをしようか？」と聞いたのですが、T君はまだ「よーし、もっとやってみよっと！」と、ときの声を上げていました。ここらで止まらないところが、T君には好奇心があってすごいなと思います。

２４÷７＝３．４２８５７１｜４２８５７１…　
　１÷７＝０．１４２８５７｜１４２８５７…　

やっぱり、何度別の計算をしても、循環自体は、「２８５７１４」の繰り返しです。÷７の「魔の循環」です。

しかし今日はT君がすごくさえていて、さらに筆算の中からも、発見をしました。

　　０．４２８５７１４２８５７１　（商）
７）１．００００００００００００
　　　３２６４５１３２６４５１３　（余り）

余りの方も実は、循環が起きているのです！（しかも別の数字の組み合わせで）

そこで、この発見を、T君の口からみんなに説明をしてもらいました。みんな「すごい！」と言ってくれました。

その後で、T君はこのように黒板に書き残していました。

Tピエールのかいしゃく
７でわってわりきれなかった場合、
上は２８５７１４
下は２６４５１３
になるのだ！

以上Tピエールのかいしゃくであった！
（Tピエールのサイン）

数の構造を理解して、きっと嬉しかったのだろうと思います。