「アド・アストラ・ペル・アスペラ」と読みます。
前置詞 ad は対格をとり、「<対格>へ、<対格>に向かって」という意味を表します。
astra は「星、星座」を意味する第2変化中性名詞 astrum,-ī n. の複数・対格です。
ad astra だけで「星へ」と訳せます。この場合の astra は「栄光」と意訳することもできます。
per は「<対格>を通じて」を意味する前置詞です。
aspera は「過酷な、困難な」を意味する第1・第2変化形容詞 asper,-era,-erum の中性・複数・対格です。本来は形容詞ですが「困難」を意味する名詞として使われています。per aspera だけで「困難を通じて」と訳せます。
全体をまとめると、「苦難を通じて栄光へ」と訳せます。

<補足>
セネカの「狂えるヘルクレス」(Hercules furens)と呼ばれる悲劇があります。
その437行目に Non est ad astra mollis e terris via. (地上から天への道のりは容易ではない)という言葉があり、これをもとにして出来た格言のようです。逆に言えば、Per aspera ad astra.そのままの言葉が出てくる文献は見つかりません。
京大学術出版会に作品の翻訳があります(『狂えるヘラクレス』小川正廣 訳)。